読書録

アポロニウスの円

算数

前記

また一年以上放置してしまい，三年で二記事 (これで三記事目) というありさまである．

久々に書いてみる．

2355 というテレビ番組を実家で見ていた．

そこで「アポロニウスの円」というものを紹介していた．

曰く，

A) 二点からの距離が一定の比の点の集合は円になる

A)' 高さの違う二つの塔からそれぞれの塔の高さの比で離れた点の集合は円になる

B) A)' の円周上から見ると塔の高さは同じに見える

A) が成り立つなら，B) もそりゃそうだろうと感じる．

(離れた分だけ縮んで見えるので，高さの比だけ離れれば同じサイズになるだろう)

というわけで気になるのは A) の方が導出できるかだなぁと思いトライしてみた．

本論

点 $A \left( 0, 0 \right)$ ，点 $B \left( b \left( \neq 0 \right), 0 \right)$ との距離の比が

$AP : BP = m : n$ であるような点 $P \left( x, y \right)$ を考える．

$AP = \sqrt {x^2 + y^2} \\ BP = \sqrt{\left(x-b \right)^2 + y^2}$

だから，

$AP : BP = m : n$

⇔ $nAP = mBP$

⇔ $n \sqrt {x^2 + y^2} = m \sqrt{\left(x-b \right)^2 + y^2}$ ・・・・・・(1)

$m = n \neq 0$ のとき

(1) より

$\sqrt {x^2 + y^2} = \sqrt{\left(x-b \right)^2 + y^2}$

$x^2 + y^2 = x^2 - 2bx + b^2 + y^2$

$2bx = b^2$

$x = \dfrac{b}{2}$

$m \neq n$ のとき ( $\left( m - n \right) \neq 0$ のとき)

(1) より

$n^2 \left(x^2 + y^2 \right) = m^2 \{ \left( x-b \right)^2 + y^2 \}$

$n^2x^2 + n^2y^2 = m^2 \left( x^2 - 2bx +b^2 \right) + m^2y^2$

$\left( n^2 - m^2 \right) x^2 + 2m^2bx + \left( n^2 - m^2 \right) y^2 = m^2b^2$

$x^2 + \dfrac{2m^2bx}{ \left( n^2 - m^2 \right)} + y^2 = \dfrac{m^2b^2}{\left( n^2 - m^2 \right)}$

$\left( x + \dfrac {m^2b}{n^2 - m^2} \right)^2 - \left( \dfrac{m^2b}{n^2 - m^2}\right)^2 + y^2 = \dfrac {m^2b^2}{n^2 - m^2}$

$\left( x + \dfrac{m^2b}{n^2 - m^2} \right)^2 + y^2 = \dfrac{m^2b^2}{n^2 - m^2} + \left( \dfrac{m^2b}{n^2 - m^2} \right) ^2$

$\left( x + \dfrac{m^2b}{n^2 - m^2} \right)^2 + y^2 = \dfrac{m^4b^2 + m^2b^2 \left( n^2 - m^2 \right)}{ \left( n^2 - m^2 \right) ^2}$

$\left( x + \dfrac{m^2b}{n^2 - m^2} \right)^2 + y^2 = \dfrac{n^2m^2b^2}{ \left( n^2 - m^2 \right)^2}$

というわけで，中心 $\left(0, \dfrac{-m^2b}{n^2 - m^2} \right)$ ，半径 $\dfrac{nmb}{n^2 - m^2}$ の円になるようだ．

後記

答え合わせできるサイトを探してみた．

式は載ってないけどこの辺を見る限り間違ってなさそうかな？